Le tour fonctionne sur un principe similaire à celui qui utilise l'écriture en base 2 des nombres entiers (voir le tour en base 2), dont nous vous invitons à lire les explications avant de poursuivre la lecture de cette page.
Le tour en base 2 repose sur le fait que chaque nombre entier naturel s'écrit de manière unique comme une somme de puissances de 2 distinctes. Dans le cas présent, on utilise une autre façon de représenter les nombres entiers, qui remplace les puissances de 2 par les fameux nombres de Fibonacci.
La suite de Fibonacci
Il s'agit de la suite $(F_n)_{n\geq0}$ de nombres entiers, définie par les conditions initiales $F_0=0$, $F_1=1$, et la relation de récurrence
$$ \forall n\geq2, F_n=F_{n-1}+F_{n-2}. $$
On a ainsi :
$F_2=1+0=1$,
$F_3=1+1=2$,
$F_4=2+1=3$,
$F_5=3+2=5$,
$F_6=5+3=8$,
$F_7=8+5=13$,
$F_8=13+8=21$,
$F_9=21+13=34$,
$F_{10}=34+21=55$...
Cette suite de nombres possède une quantité incroyable de propriétés, dont l'une a été découverte et démontrée par le mathématicien belge Édouard Zeckendorf.
La décomposition de Zeckendorf
Le théorème de Zeckendorf affirme que tout nombre entier naturel peut s'écrire de manière unique comme une somme de nombres de Fibonacci non nuls et distincts, en imposant la condition que deux nombres consécutifs dans la suite de Fibonacci ne soient pas employés simultanément.
Par exemple, la décomposition de Zeckendorf de 15 est $15=13+2$, mais ce ne peut pas être $15=8+5+2$ car cette seconde écriture utilise les nombres de Fibonacci consécutifs $F_5=5$ et $F_6=8$.
La décomposition de Zeckendorf d'un nombre entier $m$ peut être obtenue par une méthode de type «algorithme glouton», en commençant par déterminer le plus grand nombre de Fibonacci $F_n$ qui soit inférieur ou égal à $m$, puis en réitérant avec $m-F_n$ si cette différence n'est pas nulle.
Par exemple, si on veut décomposer 48, on cherche d'abord le plus grand nombre de Fibonacci inférieur ou égal à 48, qui est 34. Puis on écrit $48=34+14$, et il reste à trouver la décomposition de 14. À nouveau on cherche le plus grand nombre de Fibonacci inférieur ou égal à 14, qui est 13. On écrit $14=13+1$, et puisque 1 est lui-même un nombre de Fibonacci, on a déjà la décomposition de 14. En revenant à 48, on trouve $$48=34+13+1.$$
En procédant ainsi, on est certain de ne pas utiliser deux nombres de Fibonacci consécutifs. En effet, si $F_n$ est le plus grand nombre de Fibonacci inférieur ou égal à $m$, alors $F_{n-1}>m-F_n$ (sinon, la somme $F_n+F_{n-1}$ qui est égale à $F_{n+1}$ serait inférieure ou égale à $m$).
Ainsi tous les nombres entiers entre 1 et 54 ($=F_{10}-1$) se décomposent à l'aide des nombres de Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 et 34. À chacun de ces huit nombres de Fibonacci correspond une carte du tour : sur cette carte figurent tous les nombres entre $1$ et $54$ dont la décomposition de Zeckendorf utilise ce nombre. Par exemple, le nombre 48 figure sur les cartes correspondant à 1, 13 et 34. Et comme dans le cas de la base 2, le premier nombre apparaissant sur chacune des cartes est le nombre de Fibonacci correspondant à cette carte. Pour retrouver le nombre mystère, il suffit donc d'additionner le premier nombre de chaque carte dont la face est restée visible : cette addition correspond exactement à la décomposition de Zeckendorf du nombre mystère.
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