Nous sommes tous familiers avec la représentation des nombres en base $10$ : nous écrivons par exemple le nombre $365$ comme la suite des trois chiffres $3$, $6$ et $5$, et cela signifie $$ 365 = 3\times 100 + 6\times 10 + 5\times 1. $$ Plus généralement, nous savons que tous les nombres entiers naturels jusqu'à $999$ se décomposent de la même manière sous la forme $$ c_2\times 100 + c_1 \times 10 + c_0 \times 1,$$ où $c_2$, $c_1$ et $c_0$ sont les chiffres qui composent l'écriture du nombre, et sont choisis dans l'ensemble $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. On parle ici d'écriture en base $10$ car elle fait intervenir les puissances de $10$ : $1$, $10$, $100=10\times 10=10^2$ multipliées par des nombres entiers entre $0$ et $9=10-1$. Les nombres entiers plus grands ont aussi une écriture de la même forme, qui utilise des puissances de 10 plus grandes ($1000=10^3, 10000=10^4$...) et plus de chiffres.
Si le nombre $10$ a été choisi pour jouer ce rôle si particulier dans l'écriture usuelle des nombres, c'est simplement parce que nous avons dix doigts à nos mains. En dehors de cette raison anatomique, on pourrait en fait utiliser n'importe quel autre nombre entier supérieur ou égal à $2$ à la place de $10$. C'est d'ailleurs ce que font les ordinateurs, qui eux ne sont pas pourvus de dix doigts, mais sont particulièrement à l'aise avec le nombre $2$. L'ordinateur représente donc les nombres d'une manière analogue, en remplaçant $10$, $100$, $1000$,... par $2$, $4=2^ 2$, $8=2^3$,... Et cette écriture en base $2$ n'utilise cette fois que des chiffres pris dans l'ensemble $\{0,1\}$. Par exemple, le nombre 27 se décompose en base 2 sous la forme $$ 27= 16+8+2+1=1\times 16 + 1\times 8 + 0\times 4+1\times 2+ 1\times 1, $$ et son écriture en base $2$ est donc $11011$.
Chacun des nombres entre $1$ et $63$ apparaissant dans le tour de magie peut ainsi s'écrire d'une seule manière comme une somme de nombres distincts à choisir parmi les six premières puissances de $2$ : $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$. À chacune de ces six puissances de $2$ correspond une des cartes du tour : sur cette carte figurent tous les nombres entre $1$ et $63$ dont l'écriture en base $2$ fait apparaître cette puissance de $2$. Ainsi le nombre 27 figure sur les cartes correspondant à $1$, $2$, $8$ et $16$, mais pas sur celles correspondant à $4$ et $32$. Remarquons que les nombres figurant sur la carte correspondant à $1$ sont les nombres impairs entre $1$ et $63$. Ceux figurant sur la carte correspondant à $32$ sont tous les nombres entre $32$ et $63$.
La dernière chose importante à noter, c'est que le plus petit nombre dont l'écriture en base $2$ utilise une puissance de $2$ donnée est précisément cette puissance de $2$. Le premier nombre apparaissant sur chacune des cartes est donc la puissance de $2$ associée à la carte. Pour retrouver le nombre mystère, il suffit juste d'additionner le premier nombre de chaque carte dont la face est restée visible : cette addition correspond exactement à la décomposition du nombre mystère en base $2$.
