Rappelons que le nombre $\pi$ est défini comme le rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre. Autrement dit, un cercle de rayon $R$ a pour périmètre $2\pi R$. Le même nombre $\pi$ apparaît comme rapport entre l'aire d'un disque et le carré de son rayon : un disque de rayon $R$ a pour aire $\pi R^2$ (voir la pizza d'Archimède).
À partir de ces propriétés basiques du nombre $\pi$, on peut à l'aide de géométrie élémentaire prouver l'encadrement suivant : $$ 3 < \pi < 4. $$
Pourquoi $\pi$ est-il plus grand que 3 ?
Traçons un demi-cercle de diamètre $[AB]$ et de centre $O$, de rayon $OA=OB=1$. La longueur du demi-cercle est égale à la moitié du périmètre du cercle, elle vaut donc $$\frac{2\times\pi\times 1}{2} = \pi.$$
Sur ce demi-cercle, marquons les points $C$ et $D$ tels que $OBC$ et $AOD$ soient des triangles équilatéraux, de côté de longueur 1. Alors le triangle $COD$ est lui aussi équilatéral de même taille. La ligne droite étant (dans le plan euclidien !) le chemin le plus court pour aller d'un point à un autre, la longueur de l'arc de cercle $\overset{\,\frown}{BC}$ est strictement plus grande que la longueur du segment $[BC]$ qui vaut 1. De même pour les arcs $\overset{\,\frown}{CD}$ et $\overset{\,\frown}{DA}$. On obtient en additionnant le tout : $$\pi = \text{longueur}(\overset{\,\frown}{BC}) + \text{longueur}(\overset{\,\frown}{CD}) + \text{longueur}(\overset{\,\frown}{DA})> 1+1+1=3.$$
Pourquoi $\pi$ est-il plus petit que 4 ?
Prenons un disque de rayon 1. Il peut être complètement recouvert par 4 carrés de côté 1 mis bord à bord (formant un plus grand carré de côté 2).
L'aire du grand carré vaut 4, et elle est strictement supérieure à l'aire du disque, qui vaut $\pi\times 1^2=\pi$.
Pour aller plus loin
L'idée de comparer le cercle ou le disque à des polygônes réguliers comme par exemple le carré est très ancienne. Au troisième siècle avant J.C., Archimède a ainsi obtenu un encadrement de $\pi$ plus fin que celui donné ci-dessus, en utilisant deux suites de polygônes réguliers dont les aires encadrent celle du disque. La méthode d'Archimède commence par considérer deux hexagones réguliers, l'un inscrit dans le cercle et l'autre recouvrant le disque.
En utilisant le fait que l'aire du disque est comprise entre celles des deux hexagones, on peut en déduire un encadrement de $\pi$. De plus, Archimède a découvert des formules assez simples permettant de passer d'un polygônes à $n$ côtés à un polygône à $2n$ côtés. En doublant le nombre de côtés, donc en considérant deux dodécagones réguliers, l'encadrement obtenu est meilleur.
Archimède est parvenu à doubler encore deux fois le nombre de côtés, donc à considérer des polygones à 96 côtés. L'encadrement de $\pi$ obtenu par le savant de Syracuse est $$ 3 + \frac{10}{71} < \pi < 3+\frac{1}{7}, $$ ce qui donne numériquement $$ 3,1401 < \pi < 3,1429. $$
Cette comparaison avec des polygones resta longtemps le seul moyen de trouver des approximations de $\pi$. La méthode d'Archimède fut utilisée et perfectionnée pendant des siècles, jusqu'au mathématicien allemand Ludolph van Ceulen, qui en considérant des polygones ayant des centaines de milliards de côtés, parvint à calculer les 35 premières décimales de $\pi$ vers 1610.
Ce n'est qu'en changeant radicalement de méthode que les 100 décimales de $\pi$ furent atteintes un siècle plus tard, grâce à la fameuse formule de Machin.
Aller à la page regroupant les activités autour du nombre $\pi$.
