Calcul de l'aire délimitée par la corde
en appliquant le théorème de Pick
Cette animation est basée sur la légende de Didon, princesse de l'Antiquité qui doit déterminer quelle forme donner à une corde de longueur fixée pour entourer un territoire de la plus grande aire possible afin d'y fonder une cité. Deux versions de cette question, appelée problème isopérimétrique sont proposées :
Le choix entre les deux versions se fait via le menu des paramètres. Dans les deux cas, la longueur de la corde est fixée à 32 unités de longueur, et l'une des extrémités est déjà fixée (marquée par un point plus gros que les autres).
Contrairement au problème isopérimétrique classique, dans l'animation que nous proposons la forme prise par la corde ne peut pas être n'importe quelle courbe : on impose ici que la corde forme un polygone dont les sommets sont des points à coordonnées entières (marqués en brun). On détermine les sommets successivement en cliquant à chaque fois sur le nouveau point choisi, jusqu'au retour au point de départ (dans la version « intérieur des terres ») ou jusqu'au retour au bord de la mer dans l'autre version. Si la corde est trop courte pour atteindre le nouveau sommet ou pour refermer ensuite le contour, le nouveau sommet n'est pas accepté. À chaque nouveau sommet du polygone la longueur de corde encore disponible est actualisée.
Une fois le contour entièrement déterminé, un script calcule l'aire du territoire entouré en utilisant le théorème de Pick. Nous ne savons pas avec certitude quelle est la forme du meilleur polygone dans les deux versions. Les records d'aire connus avec la longueur de corde 32 sont 79,5 unités d'aire dans la version « intérieur des terres », et 160,5 unités d'aire dans la version « bord de mer ». Envoyez-nous une capture d'écran si vous parvenez à battre l'un de ces records !
Pour vous aider à optimiser le contour, le bouton marqué d'un cercle donne la solution du problème isopérimétrique classique : un cercle de rayon 32/(2π) dans le plan ou un demi-cercle de rayon 32/π dans le demi-plan.
Cette page vous permet d'en savoir plus sur le problème isopérimétrique de Didon.