En complément du poster «Les maths ça sert à rien (sauf à...)» téléchargeable ici, nous vous proposons quelques pistes pour aller plus loin...

Comme pour le poster, il ne s'agit pas ici de donner une liste exhaustive des applications des mathématiques, ce qui serait évidemment impossible. Le but est simplement de donner quelques exemples, certains bien connus et d'autres moins, de domaines où les mathématiques interviennent de façon essentielle.

Nous espérons compléter prochainement la liste des thèmes abordés.

Comprendre la course des étoiles

Depuis des millénaires les progrès de l'astronomie sont profondément liés à ceux des mathématiques. L'observation des astres et les questions qui en découlent sont une motivation majeure pour le développement d'outils mathématiques, de la géométrie classique (trigonométrie pour repérer les positions des corps célestes, coniques pour décrire leurs mouvements...) au calcul différentiel qui permit à Isaac Newton de formuler les lois de la mécanique classique. En étudiant des problèmes de mécanique célestes, Henri Poincaré a posé les fondements de la théorie moderne des systèmes dynamiques et entrevu la notion de chaos. Albert Einstein s'appuie lui sur le concept de variété géométrique introduit par Bernhard Riemann pour développer la théorie de la relativité, expliquant notamment certaines anomalies dans les observations astronomiques.

Les références sur les liens entre mathématiques et astronomie sont innombrables. En voici quelques unes :

Prévoir le temps qu'il fera

Préoccupation majeure des hommes depuis toujours, les prévisions météorologiques ont longtemps reposé sur des dictons plus ou moins fondés. Depuis l'avènement des ordinateurs, elles sont désormais basées sur la prévision numérique du temps. Comme expliqué dans cet article tiré de la brochure L'explosion des mathématiques, il s'agit de résoudre numériquement les équations de la dynamique des fluides régissant l'évolution de l'atmosphère ou des océans. Le principe est simple : en connaissant parfaitement l'état de l'atmosphère et des océans aujourd'hui, et en faisant tourner ces équations à partir de ces conditions initiales, on devrait pouvoir prédire l'évolution de la situation météorologique dans les jours à venir. Malheureusement des obstacles de taille rendent difficiles l'application de cette idée :

La situation est d'autant plus critique que, comme l'a montré le météorologue Edward Lorenz en 1963, même un modèle extrêmement simplifié de l'évolution de l'atmosphère se comporte de façon chaotique et montre une très grande sensibilité aux conditions initiales. C'est ce phénomène qu'il a popularisé quelques années plus tard sous le fameux nom d'effet papillon.

Les mathématiques interviennent à tous les niveaux pour optimiser les prévisions. L'analyse numérique s'attache à toujours améliorer le compromis rapidité/précision de la résolution numérique des équations physiques. L'utilisation de méthodes statistiques permet également de corriger certaines erreurs de façon efficace.

Mesurer le monde

Dès l'antiquité les scientifiques ont employé des outils de géométrie (étymologiquement « mesure de la Terre ») pour mesurer le monde qui les entoure. Outre le légendaire épisode de Thalès mesurant la hauteur de la pyramide de Khéops à l'aide de son fameux théorème, on peut surtout penser à l'estimation de la circonférence de la Terre par Érathostène. Il obtient déjà une très bonne approximation, ce qui est remarquable étant donné les moyens rudimentaires employés : Érathostène estime la distance entre les villes d'Alexandrie et Syène via le temps mis par un chameau pour aller d'une ville à l'autre ! Depuis, des méthodes plus précises ont été mises au point pour mesurer la distance entre deux points éloignés, notamment la triangulation (voir aussi cet article d'Images des Mathématiques).

Au début du dix-neuvième siècle, l'illustre mathématicien Carl Friedrich Gauss entreprend une étude géodésique de l'état de Hanovre qui le conduira à développer sa théorie de la courbure des surfaces, incluant notamment le theorema egregium (« théorème remarquable »).

Aujourd'hui on mesure la terre au centimètre près depuis l'espace en utilisant des systèmes comme le GPS, mais là aussi l'emploi d'outils mathématiques est fondamental. Et même lorsque l'on connaît parfaitement les mesures de la Terre se posent encore des problèmes mathématiques difficiles liés à la représentation du monde sous forme de cartes.

Partager équitablement

Pour l'élève de l'école primaire ou du collège, certaines notions mathématiques comme la division ou les fractions sont naturellement introduites en lien avec des problèmes de partage. La géométrie elle-même trouverait son origine dans le partage des terres cultivables dans l'Égypte antique (voir la brève de maths « Partager la terre »). La résolution d'autres problèmes de partage fait parfois appel à des résultats mathématiques profonds : c'est le cas par exemple du problème du partage du collier, issu de problèmes d'optimisation sur des chaînes de montage. Il s'agit de partager équitablement un collier comportant plusieurs types de perles entre les voleurs qui l'ont dérobé, en le coupant le moins de fois possible. Sa résolution fait intervenir le théorème de Borsuk-Ulam. On peut également citer l'utilisation du lemme combinatoire de Sperner dans des problèmes de partages équitables formulés en théorie des jeux (voir par exemple comment partager équitablement le loyer d'une colocation).

Protéger nos secrets

Comment transmettre un message en ne permettant qu'à son seul destinataire d'y avoir accès est une question qui préoccupe les militaires et les diplomates depuis des millénaires, et qui s'accompagne inévitablement de l'autre question non moins cruciale : comment décoder un message crypté de l'ennemi ? La concurrence entre ces deux problèmes a entraîné le développement de systèmes de codage de plus en plus élaborés, du codage de César à la machine Enigma des allemands pendant la seconde guerre mondiale. Dans cette vidéo de Science Étonnante ainsi que dans cet article d'Images des Mathématiques, on explique comment les mathématiques jouent un grand rôle dans cette question.

Aujourd'hui la croissance exponentielle des informations privées transmises sur internet fait des questions de cryptographie un problème qui nous concerne tous au quotidien. Cet autre article d'Images des Mathématiques explique de manière accessible la problématique des clés publiques et privées, utilisées dans la cryptographie asymétrique (voir aussi sur cet article d')i(nterstices). Lorsqu'en 1640 Pierre de Fermat énonça son petit théorème en arithmétique modulaire, il ne s'imaginait certainement pas que, quelques siècles plus tard, ce théorème serait à la base d'un algorithme de cryptographie asymétrique utilisé par des milliards d'internautes. Cet algorithme porte le nom de RSA, du nom de ses inventeurs Ron Rivest, Adi Shamir et Len Adelman. Son efficacité repose sur le fait qu'il est très facile (pour un ordinateur) de multiplier entre eux deux nombres premiers très grands, mais très difficile de retrouver ces deux nombres quand on connaît seulement leur produit. Des présentations de RSA se trouvent sur cet article de Science Étonnante ou celui ci d')i(nterstices.

Si le codage RSA fonctionne parfaitement depuis des années, ce n'est pas pour autant la fin de la recherche d'autres systèmes de cryptage. L'arrivée annoncée dans un futur plus ou moins proche des ordinateurs quantiques pose un véritable défi : ces ordinateurs seront en effet potentiellement capables de factoriser rapidement un très grand nombre en produit de facteurs premiers, et donc de casser le codage RSA. Heureusement des problèmes mathématiques encore plus difficiles à résoudre que la factorisation en nombres premiers ne manquent pas, et certains sont envisagés dans ce que l'on nomme par anticipation la cryptographie post-quantique. C'est par exemple le cas de questions relatives aux réseaux euclidiens.

Écouter de la musique

Les liens entre mathématiques et musique semblent aussi anciens que les mathématiques elles-mêmes : pour les grecs de l'antiquité, la musique fait partie du quadrivium des sciences mathématiques, avec l'arithmétique, l'astronomie et la géométrie. On trouve de nombreux documents, par exemple cette vidéo, sur les problèmes arithmétiques posés par la construction de gammes musicales harmonieuses. Comme on le voit dans cette autre vidéo, les mathématiques permettent également d'analyser les rythmes musicaux, et même de composer des improvisations à l'aide de modèles aléatoires ! Le son produit par un instrument de musique est lié aux solutions mathématiques d'un problème physique appelé « équation des ondes », présenté dans cet article.

La musique que l'on écoute aujourd'hui est le plus souvent diffusée par le biais de canaux numériques, qui nécessitent également de nombreux outils mathématiques pour coder efficacement le son. C'est notamment le cas du fameux codage MP3 qui, à l'instar du codage JPEG pour les photographies (voir plus loin), utilise une variante de la transformée de Fourier (la transformée en cosinus discrète) pour éliminer des informations non nécessaires à la qualité de l'écoute, puis une technique de compression appelée codage de Huffman.

Décrypter le big data

Il est un phénomène auquel on peut aujourd'hui difficilement échapper : les données numériques sont partout ! L'explosion des moyens de collecte et de stockage ainsi que l'apparition d'objets connectés munis de capteurs multiples les rendent omniprésentes. Cela ne concerne pas seulement les fameux GAFA, mais bien tous les secteurs d'activités et de recherche : industrie pharmaceutique et monde médical, bioinformatique et génomique, secteur bancaire et assurance, commerce, météorologie et astronomie, mais aussi sciences sociales. Tous nos mouvements, actions et documents sont désormais susceptibles d'être indexés, numérisés, stockés ! Notre capacité à valoriser, exploiter mais aussi protéger cette nouvelle richesse est donc un défi crucial pour le XXIe siècle.

Le terme « big data » ou « méga-données » couvre ce phénomène récent. De nos jours, les données sont hétérogènes (de format et de nature variée : textes, images, nombres, signaux...), volumineuses (grand nombre d'observations, et observations de très grande dimension), et souvent collectées de manière fortuite (pas seulement générées volontairement). Sur quelles disciplines peut-on se baser pour décrypter ces masses de données ? Si la statistique, dont un des objectifs (ou en tant que partie des mathématiques proposant des modèles probabilistes) est de proposer des modèles mathématiques pour la collecte, l'organisation, l'analyse et la compréhension de données apparaît bien sûr en première ligne, les méthodes classiques sont inopérantes au vu des caractéristiques ci-dessus. Elles se confrontent en particulier au fléau ou à la malédiction de la dimension, le volume des données étant une fonction exponentielle de la dimension.

Une approche transdisciplinaire, permettant la mise en œuvre de méthodes numériques sophistiquées, au croisement des mathématiques, de l'informatique, et même de la physique est requise et s'est développée peu à peu : c'est l'émergence de la « science des données » (« data science », et du métier associé de « data scientist »). Censée permettre une exploitation des données comme un tout, elle suscite le développement de nombreuses initiatives, en recherche et en enseignement.

Certaines méthodes algorithmiques se révèlent aujourd'hui extrêmement fructueuses en pratique : on peut penser aux réseaux de neurones profonds, le fameux « deep learning », pour la reconnaissance d'images sur d'énormes bases de données. Cependant, l'implication des mathématiques dans le secteur des big data, via la statistique mais aussi la théorie de l'approximation ou l'optimisation, reste bien sûr un challenge très important pour valider les découvertes.

Photographier les papillons

Depuis les années 2000 les appareils photos numériques ont peu à peu remplacé les pellicules argentiques, les photographies sont devenues des suites de nombres, et la chimie qui permettait le développement des photos a laissé la place au traitement numérique des images. À chaque étape de la vie d'une photographie, des calculs mathématiques très avancés sont effectués par l'appareil ou l'ordinateur. Ainsi au moment d'enregistrer la photo sur la carte mémoire, différents outils mathématiques sont employés afin de réduire efficacement la taille du fichier sans compromettre la qualité de l'image : dans la compression JPEG, on utilise principalement la transformée en cosinus discrète et le codage de Huffman (comme le codage MP3 présenté ci-dessus). On peut également par la suite souhaiter modifier la photographie pour la rendre plus contrastée, plus nette, ou éliminer certains de ses défauts, et cela implique également des calculs sur les pixels de l'image. À titre d'exemple, on peut voir sur cet article d'Image des Mathématiques comment le traitement numérique des pixels permet de restaurer des vieux films.

Améliorer les performances sportives

On pourrait imaginer que les mathématiques n'ont rien à voir avec le sport. Pourtant, même dans ce domaine elles interviennent à de multiples niveaux. Naturellement, on a besoin de résoudre des problèmes combinatoires parfois difficiles pour organiser des tournois en respectant des contraintes parfois compliquées. On peut penser aussi aux méthodes pour classer les différents compétiteurs ou équipes, qui elles aussi font appel à des outils mathématiques de plus en plus évolués. De manière moins évidentes, les mathématiques sont également présentes dans le choix des stratégies des joueurs: savez-vous par exemple que le tireur de pénalty, tout comme le gardien qui veut empêcher le ballon de rentrer, peuvent optimiser leurs chances de succès en recourant aux équilibres préconisés par la théorie des jeux ? Ce champ des mathématiques très utilisé en économie a donc aussi des applications dans le sport ! Les entraîneurs et préparateurs sportifs ont aussi recours à la science des données pour traiter les informations collectées au cours des compétitions, de plus en plus nombreuses. Enfin les mathématiques sont également employées dans l'amélioration de la technique même du sportif. Elles servent ainsi à modéliser et mieux comprendre les mouvements, mais aussi à optimiser la gestion de l'effort au cours d'une course.