L'empilement est stable tant que chaque domino est traversé par la verticale du centre de gravité de l'ensemble des dominos qui sont au-dessus de lui. Pour trouver le plus grand surplomb possible, l'astuce consiste à construire la tour... en commençant par le haut ! Choisissons comme unité la longueur d'un demi-domino :
- Avec 2 dominos, il est clair que le surplomb maximal vaut 1.
- Avec 3 dominos, le surplomb maximal vaut 1 + 1/2.
- Avec 4 dominos, le surplomb maximal vaut 1 + 1/2 + 1/3.
- Avec 5 dominos, le surplomb maximal vaut 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4.
Pour s'en assurer, il suffit de réaliser les constructions ci-dessous :
Une boîte de dominos en contient 28. Le surplomb maximal qu'Ernest peut réaliser avec un jeu vaut donc 1+ 1/2 +1/3 +1/4+ ... + 1/27 soit approximativement 3,89 soit un peu moins que la longueur de 2 dominos !
Théoriquement, s'il dispose d'un nombre suffisant de dominos, Ernest peut réaliser un empilement permettant un surplomb aussi grand qu'il le souhaite : la somme des inverses des nombres entiers (série harmonique) tend vers l'infini... lentement mais sûrement ! Ainsi, avec dix boîtes, Ernest pourrait s'il était extrêmement adroit obtenir un surplomb de 6,2 (un peu plus que trois dominos). Pour réaliser un surplomb de dix dominos, il faudrait utiliser environ dix millions de boîtes de 28 dominos !
Références :
G. GRANCHER, T. de la RUE : Énigmes mathématiques. Maths en scène. Brochure APMEP 121 (1998).