Nous supposerons qu'à chaque naissance la probabilité d'avoir une fille est égale à celle d'avoir un garçon et vaut 1/2.
On peut alors symboliser une famille par un mot (de 3 lettres au plus) composé de F et de G qui indique dans quel ordre les filles (F) et
les garçons (G) sont nés.
Les Eugène ont décidé d'enfanter tant que de leur union ne naîtra pas un garçon sans avoir plus de trois enfants.
Leur stratégie ne leur permet donc d'avoir que l'une des quatre familles G, FG, FFG ou FFF.
Ces familles n'ont pas toutes la même probabilité d'apparition, mais respectivement les probabilités 1/2, 1/4, 1/8 et 1/8.
(La somme de ces quatre nombres vaut bien 1.)
Quelle sera la proportion moyenne de filles dans la famille Eugène ?
Dans les quatre familles la proportion de filles est respectivement 0, 1/2, 2/3 et 1. La proportion moyenne de filles vaut donc
0.(1/2) + (1/2).(1/4) + (2/3).(1/8) + 1.(1/8) = 1/3.
Au vu de ce résultat, nous sommes alors tentés de répondre directement à la question 4 en annonçant qu'une stratégie "à la Eugène" favorise la naissance des garçons. Nous verrons qu'il n'en n'est rien.
Combien, en moyenne, les Eugène auront d'enfants ?
Le nombre moyen d'enfants dans la famille Eugène vaut
1.(1/2) + 2.(1/4) + 3.(1/8) + 3.(1/8) = 7/4.
Combien, en moyenne, les Eugène auront de filles ?
Le nombre moyen de filles dans la famille Eugène vaut
0.(1/2) + 1.(1/4) + 2.(1/8) + 3.(1/8) = 7/8.
Si tous les parents suivaient la stratégie des Eugène naîtrait-il plus de garçons que de filles ?
Des deux réponses ci-dessus, nous concluons qu'en moyenne dans les familles "à la Eugène", il naît autant de filles que de garçons.
Conclusion
La réponse ci-dessus est rassurante pour l'avenir de l'humanité ! Pourquoi notre intuition a été mise en défaut après avoir répondu à la première question ?
Considérons les trois variables aléatoires nombre d'enfants dans la famille, nombre de filles dans la famille et proportion de filles dans la famille. La dernière est le quotient des deux précédentes. On sait que la moyenne de la somme de deux variables aléatoires est la somme de leur moyenne. On est tenté de généraliser ceci au quotient de deux variables aléatoires, ce qui est faux ! Vous en avez un contre-exemple sous les yeux !
Plus concrètement, dans les familles "à la Eugène",
l'enfant unique sera toujours un garçon et les familles nombreuses
(trois enfants au moins) compteront une forte proportion de filles :
un fait compense l'autre !
Il n'y a rien de paradoxal à ce qu'il naisse en moyenne autant de filles que de garçons bien que la proportion moyenne de filles par famille valle 1/3.
Prolongement
Que se passe-t-il si à chaque naissance, la probabilité d'avoir un garçon est différente de celle d'avoir une fille ?
Que se passe-t-il si la famille Eugène ne s'impose pas de limite pour le nombre de ses enfants ?