Algorithme PageRank, ou comment Google classe les pages web ? Lycée et au-delà Olivier Guibé

La loi des séries : hasard ou fatalité ? Tout public Elise Janvresse, Thierry de la Rue Dans le langage courant, la répétition de calamités a donné lieu à une expression dont les journalistes sont friands lorsqu'ils annoncent plusieurs catastrophes de nature similaire : la "loi des séries". Mais cette loi en est-elle une ? Ces événements dramatiques sont-ils vraiment le signe de la persécution du destin ? Il est certes aisé d'invoquer une cause surnaturelle... mais si tout cela n'était que pures coïncidences ? Comment déterminer si le hasard n'est pas venu mettre son grain de sel ? C'est ici que la théorie des probabilités vient à notre rescousse...

Le mouvement brownien : Des grains de pollen aux marchés financiers en passant par Einstein. Á partir du lycée Elise Janvresse, Thierry de la Rue Observé au début du XIXe par le botaniste qui lui donnera son nom, formalisé par Einstein en 1905, le mouvement brownien intervient aujourd'hui dans des domaines divers, notamment dans la modélisation de marchés financiers. Certaines propriétés du brownien seront présentées et illustrées par des simulations.

Le triangle de Pascal Atelier pour élèves de collège, à partir de la cinquième. Durée : 3 heures Elise Janvresse, Thierry de la Rue Durant cet atelier les élèves manipulent en petits groupes. Le triangle de Pascal est relié à des questions de combinatoire, à des propriétés arithmétiques, aux fractales. À la fin de la séance, nous présentons des travaux de recherche actuels où intervient le triangle de Pascal.

Pile ou face Á partir du lycée Elise Janvresse, Thierry de la Rue Si le hasard est par nature imprévisible, parler de lois du hasard peut sembler paradoxal. Et pourtant, certaines lois existent et permettent de faire des prédictions : on ne peut pas prévoir le résultat d'un tirage à pile ou face, mais la loi des grands nombres assure que la proportion de "piles" se rapproche de 1/2 quand le nombre de tirages augmente.
En partant de ce jeu de pile ou face, nous présenterons les grandes lois qui régissent le hasard, et donnerons des exemples d'applications. Nous discuterons aussi de leur signification afin de se garder des interprétations trop hâtives.
Nous relions aussi le jeu de pile ou face à des problèmes de recherche plus actuels : les marches aléatoires, le mouvement brownien, la percolation.

Traitement numérique de l'image Á partir du lycée Elise Janvresse, Thierry de la Rue Les images numériques interviennent dans la vie quotidienne de chacun, dans des domaines variés allant de la médecine (radiographie, scanner, PET...) aux loisirs (appareil photo numérique, internet...).
Nous verrons ce que peuvent apporter les progrès scientifiques du traitement d'image dans ces domaines, en abordant notamment les questions suivantes :

Paradoxes des probabilités et statistiques Á partir du lycée Elise Janvresse, Thierry de la Rue Le vocabulaire des probabilités et des statistiques est couramment employé dans la vie quotidienne : on parle de l'espérance de vie, du salaire moyen, de la fréquence des bus... Mal compris, ou mal utilisé, il peut conduire à des conclusions surprenantes, voire absurdes. Saviez-vous par exemple que la plupart des Français ont plus de jambes que la moyenne ? Nous présenterons et expliquerons certains de ces paradoxes, parfois amusants ou troublants.
La seconde partie de l'exposé est consacrée à un phénomène étonnant : la loi du premier chiffre significatif, ou loi de Benford. Alors qu'il existe autant de nombres dont l'écriture commence par un «9» que de nombres dont l'écriture commence par un «1», ceux qui commencent par un «1» se rencontrent six fois plus souvent ! nous tenterons de donner quelques explications de cette loi, et en présenterons une application surprenante... au contrôle fiscal.

Jeux : Stratégies et Société Á partir du lycée Elise Janvresse, Thierry de la Rue Comme son nom l'indique, la théorie des jeux s'est intéressée d'abord à l'analyse des jeux classiques comme les échecs. Mais depuis les années 1940, elle est surtout devenue une façon de modéliser les comportements humains dans des événements de la vie courante dont l'issue dépend de la décision prise par chacune des personnes impliquées. En économie, en politique, comme dans tous les domaines où apparaissent des conflits d'intérêts, chacun essaie d'anticiper au mieux les réactions des autres afin d'établir une stratégie qui lui assure un résultat final le plus favorable possible. L'application de cette théorie conduit parfois à des conséquences surprenantes, que nous tenterons d'illustrer en répondant, entre autres, aux questions suivantes.
- Un général d'une armée en guerre doit-il tirer au sort le jour où il passera à l'attaque ?
- Peut-il être dans l'intérêt d'un leader politique d'inciter une partie de ses électeurs à voter pour son pire ennemi ?
- Est-il toujours sensé de miser 1 000 € lors d'un pari qui en rapporte en moyenne un million ?

À la recherche du plus court chemin Tout public Gérard Grancher, Thierry de la Rue Comme chacun sait, le chemin le plus court pour joindre deux points est la ligne droite... dans les cas simples ! Nous montrerons dans cette conférence qu'une ligne brisée, un arc de cercle, ou des courbes plus compliquées peuvent aussi constituer le plus court chemin d'un point à un autre. Le problème se complique encore davantage lorsqu'il s'agit de relier plus de deux points entre eux. Nous présenterons des cas où des méthodes simples existent pour trouver le plus court ``chemin'' joignant n points, et des situations où, au contraire, on ne sait pas en pratique trouver ce plus court chemin : on doit se contenter de solutions approchées, obtenues notamment par des algorithmes faisant intervenir le hasard ! Nous verrons enfin que cette recherche du plus court chemin a de nombreuses applications, qui dépassent largement le cadre des transports : on l'utilise aussi dans des problèmes de classement et de statistiques... et pour la pose économique de papiers peints !

De la numération à la numérisation Tout public Gérard Grancher, Thierry de la Rue Les hommes n'ont pas toujours compté de la même façon. Nous passerons brièvement en revue l'histoire de la numération. Pour résoudre certains problèmes les mathématiciens ont dû inventer de nouveaux nombres. Le codage par les nombres a permis le recours aux ordinateurs et présente de multiples avantages. Mais les ordinateurs ne comptent pas tout-à-fait comme nous.

Statistique et mensonges Tout public Gérard Grancher Disraeli, le premier ministre britannique du XIXe siècle, avait déclaré : "il y a trois sortes de mensonges : les petits mensonges, les gros mensonges et les statistiques!"
Statistiques, enquêtes, sondages, moyennes, indices... sont diffusés à longueur de colonnes dans les journaux écrits et télévisés. Ces travaux sont souvent, mais pas toujours, scientifiquement rigoureux. Les médias s'en font l'écho sous des formes très discutables : les illustrations graphiques relèvent parfois de la pure fantaisie. L'usage de la statistique devient abusif. Le grand public reste perplexe et en conclut: "on fait dire ce que l'on veut aux chiffres". Un peu de culture mathématique permet d'éviter les pièges dus à une interprétation hâtive des chiffres. Nous vous proposons d'illustrer notre propos d'exemples tirés de l'actualité récente.

Enigma, histoire et principe d'une machine à chiffrer et à déchiffrer Tout public Gérard Grancher La nécessité de confidentialité de messages ne date pas de l'ère internet. Au petit jeu du codage - décodage, hier comme aujourd'hui, les mathématiciens sont sollicités pour concevoir ou décrypter de nouvelles méthodes de chiffrage. L'histoire d'Enigma, la machine utilisée par les armées allemandes de 1930 à 1945, en est un exemple où se mêlent espionnage et mathématiques.

Les mathématiques de la vie quotidienne Tout public Gérard Grancher Le fonctionnement de nombreux appareils (téléphone portable, lecteur de CD, système de freinage ABS, carte bancaire à puce, ordinateur ...) de notre quotidien reposent sur des mathématiques. Pourquoi? Comment ? Mais très souvent, l'usage des mathématiques reste caché.
Les médias (ab-)usent et diffusent de nombreuses informations chiffrées sans toujours en expliquer la signification.
Comprendre le monde qui nous entoure nécessite une culture mathématique.

Quelques énigmes à caractère mathématique Tout public Gérard Grancher Nous vous proposons quelques énigmes dont la résolution nécessite une démarche alliant analyse, rigueur et imagination. Cette démarche est tout-à-fait comparable à celle du mathématicien.
La solution de nos énigmes est toujours simple, parfois astucieuse, mais se situe rarement là où on est tenté de la rechercher !

Démocratie, dictature... et mathématiques Tout public Gérard Grancher Le principe de décision en démocratie consiste à produire, de l'expression des opinions individuelles, un consensus. Il existe de multiples procédures pour passer des unes à l'autre variant suivant les pays, les jurys... Le Président n'est pas élu de la même façon en France, aux USA ou en Irlande. Quelles seraient les procédures qui répondraient à des critères "raisonnables" de qualité ?
Des mathématiciens se sont intéressés à ce type de questions. Du paradoxe de Condorcet au théorème de Black en passant par le théorème de Arrow, leurs réponses sont parfois déconcertantes.

Promenade mathématique au pays du Sudoku Tout public Gérard Grancher Pour les mathématiciens, les statisticiens en particulier, les grilles de sudoku ne sont qu'un cas particulier de carrés latins. Nous tenterons au cours d'une promenade mathématique de répondre à quelques questions :

Du mariage ... et des mathématiques ! Tout public Gérard Grancher Comment constituer des couples "stables" en tenant compte des préférences de chacune des femmes et de chacun des hommes ?
De même, comment affecter les employés sur des postes de travail en tenant compte de leurs compétences et de leurs souhaits ?
Les mathématiciens Lloyd Shapley et Alvin Roth ont reçu en 2012 le prix Nobel d'économie pour leur contribution à l'étude de ce type de problèmes.
Au croisement des mathématiques, de l'algorithmique et des sciences sociales, cette conférence sera aussi une occasion d'attirer l'attention sur les conséquences (mathématiques au sens où celles-ci sont prouvées) des stéréotypes hommes-femmes.

Les maths, pour quoi faire ? Tout public Elise Janvresse On entend souvent dire que les mathématiques sont partout... mais il semble pourtant que la plupart des gens s'en passent très bien ! Nous verrons que tout comme Monsieur Jourdain dit de la prose sans le savoir, nous utilisons sans arrêt les résultats des maths sans en avoir conscience.

Hasard. Vous avez dit hasard ! Quel hasard ? Tout public Gérard Grancher Nous nous promènerons autour de la notion de hasard en présentant quelques paradoxes relatifs au hasard et en tentant de répondre à quelques questions :